一個小小的拓撲學問題，解決起來也是干脆利落。不過君信突然反應過來很多的理論和推理在這個時代都還沒有流傳出來。自己在解決問題的時候又習慣性的將一些推論的過程給省略過去了，也不知道這一大批的教授能不能看得懂。所以君信對這些并不是太過在意，他在意的是在這次的考試中最后兩道附加題給他帶來的一些思考。
    數學自誕生以來，便迅速發展成為人類文明進步的重要的工具，無論是戰爭中的廟算，還是在文治上的稅收、人口等均離不開數學的發展。
    從西方的數學發展歷史看來，古代的三大數學家歐幾里得、阿基米德和丟番圖等建立了古代數學的經典理論，奠定了理論數學的基礎，將數學從生活中的具象化中提取出來形成了最初的系統的數學理論。
    自近現代以來，艾沙克牛頓和德國的萊布尼茲兩人分別各自的建立了微積分，從科學的發展來說，前者的理論對物理學的影響更大，而后者的理論對數學的影響更加的巨大。且不論兩人之后的英國和德國兩個國家為了微積分的發明的大打出手，兩人建立了微積分確實是將數學的發展推向前進。數學的發展開始進入了一個高速前行的時期，并開始與其他的學科相互交纏，相互推進。
    之后的數學家們，如高斯、歐拉、哈代、拉格朗日、希爾伯特、格羅滕迪克等等各自引領著各自的時代，推動著數學的進步。并在各自研究的領域取得令人難以想象的成就，就如高斯一生的成果，便是以他的名字命名的定理和公式就有上百個之多。
    但是就算是這些的數學大家，依舊也有不能夠解決或者沒有解決的問題，這些問題隨著時間的變化，或是在研究的過程中取得某一方面的突破，或是在研究了幾百年之后還是一籌莫展，一直困擾著數學界。
    其中最為著名的便是1900年8月世界數學家代表大會上，德國著名的數學家戴維·希爾伯特提出的著名的希爾伯特的23個問題。
    希爾伯特的23個問題分為四大板塊，第一到第六題是關于數學基礎的問題，第七到第12道題是關于數論的問題，第十三到第十八是關于代數和幾何的問題，第十九到第二十三是關于數學分析的問題。截止到21世紀初，希爾伯特的23個問題仍有一些未被解決。成為數學家們急于解決的問題。
    希爾伯特的23個問題在數學史上產生的巨大影響，一直持續到了一百多年后，任然沒有消除，這與希爾伯特在數學上的巨大成就固然有著關系，但這些問題本來就是數學領域里面的難題，通過解決這些問題從而獲得的思路和想法才是這些難題才是推動數學發展的最重要的價值。
    舉個簡單的例子來說，費馬大定理的證明，便是說明著名的數學猜想在推動數學進步的最好的例子。法國人費馬死后，他在一本《算術》書上所寫的注記并沒有隨之湮沒。其長子意識到那些草草的字跡也許有其價值，就用五年時間整理，然后印出一個特殊的《算術》版本，載有他父親所做的邊注，那里面包含了一系列的定理。
    在靠近問題8的頁邊處，費馬寫著這么幾句話：
    “不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個4次冪寫成兩個4次冪之和；或者，總的來說，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。”
    這個喜歡惡作劇的天才，又在后面寫下一個附加的評注：
    “我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。”
    費馬寫下這幾行字大約是在1637年，這些被僥幸發現的蛛絲馬跡成了其后所有數學家的不幸。一個高中生就可以理解的定理，成了數學界最大的懸案，從此將那些世界上最聰明的頭腦整整折磨了358年。一代又一代的數學天才前赴后繼，向這一猜想發起挑戰。
    費馬大定理與數學的歷史有著千絲萬縷的聯系，觸及到了20世紀數論中所有重要的問題。證明過程涉及了19世紀的法國天才數學家伽羅瓦為了尋找五次方程的解而發展出的群論，20世紀的日本數學家谷山和志村提出了谷山-志村猜想，分析橢圓方程的巖澤理論和科利瓦金-弗萊切理論。最重要的是它聯系了數學中幾個各自毫無關系的領域，發展出了全新的數學技術。
    而這些理論在費馬大定理上的證明運用，有再次的說明了數學猜想對于數學發展的巨大推動作用。故而，每一次出現的數學猜想的證明，無論對錯，都會在數學界引起巨大的轟動，他可以使得不同領域的數學家們放下手頭上的重要的工作，然后在一個共同的場所交流著自己的思想，從而進一步的促進數學的發展。同時，這也是數學的研究在業內是保密性最低的科學研究的一個重要原因。
    試卷上的最后兩個問題，一個出自于數論，在數論的領域，沒有什么比得上費馬大定理的傳奇性要高，盡管在中國哥達巴赫猜想要更加的廣為人知一點。而同樣，在拓撲學領域，卻也沒有什么比得上龐加萊猜想更加的吸引人了。
    龐加萊猜想是法國著名的數學家龐加萊在1904年提出的一個關于流形的猜想，即“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面。”簡